ДИНАМИКА ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФУЗИОННО СВЯЗАННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВНУТРЕННЕЙ СВЯЗЬЮ 

Ивановский Леонид Игоревич, аспирант, Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова (Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14), leon19unknown@gmail.com 

517.928 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-3-2 

Актуальность и цели. Работа посвящена динамике системы дифференциальных уравнений с диффузионным взаимодействием и дополнительной внутренней связью с кубической нелинейностью. Актуальность исследований такой системы обусловлена тем, что незначительное изменение коэффициента дополнительной связи позволяет получить сложные сценарии поведения устойчивых состояний равновесия. Для рассматриваемой системы были найдены критические зависимости, при которых нулевое состояние равновесия теряет свою устойчивость с появлением двух пространственно неоднородных состояний в одном случае и цикла в другом. При значениях параметров, близких к критическим, были получены асимптотические формулы для режимов, ответвляющихся от нулевого решения.
Материалы и методы. Для задачи в комплексе применялись аналитические и численные методы решения. При численном исследовании особое внимание уделялось значениям параметров, при которых нулевое решение системы дифференциальных уравнений теряет свою устойчивость. 
Результаты. Были выявлены критические зависимости параметров, при которых происходят бифуркации нулевого состояния равновесия. При значениях параметров, близких к критическим, была построена нормальная форма и на ее основе были определены условия появления неоднородных состояний равновесия в одном случае и цикла – в другом.
Выводы. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач численного моделирования некоторых биофизических процессов. Вызывает также интерес распространение этих результатов и на другие системы дифференциальных уравнений с дополнительной внутренней связью. 

Ключевые слова

система дифференциальных уравнений, кубическая нелинейность, нулевое состояние равновесия, потеря устойчивости. 

 Скачать статью в формате PDF

1. Глызин, С. Д. Диффузионный хаос и его инвариантные числовые характеристики / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов // Теоретическая и математическая физика. – 2020. – Т. 203, № 1. – С. 10–25.
2. Glyzin, S. D. Difference Approximations of a Reaction–Diffusion Equation on Segments / S. D. Glyzin // Automatic Control and Computer Sciences. – 2018. – Vol. 52, № 7. – P. 762–776.
3. Glyzin, S. D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos / S. D. Glyzin // Automatic Control and Computer Sciences. – 2013. – Vol. 47, № 7. – P. 452–469.
4. Глызин, С. Д. Релаксационные колебания и диффузионный хаос в реакции Белоусова / С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2011. – Т. 51, № 8. – С. 1400–1418.
5. Гу кенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. – Москва : Институт компьютерных исследований, 2002. – 560 с.
6. Глызин, С. Д. Локальные методы анализа динамических систем / С. Д. Глызин. – Ярославль : ЯрГУ им. П. Г Демидова, 2006. – 91 с.
7. Марсден, Дж. Е. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, Д. Мак-Кракен. – Москва : Мир, 1980. – 368 с.
8. Х эссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн. – Москва : Мир, 1985. – 280 с.
9. Wiggins, S. Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods / S. Wiggins. – New York : Springer, 1989. – 672 p.
10. Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos / S. Wiggins. – New York : Springer, 2003. – 882 p.
11. Кащенко, С. А. О бифуркациях при малых возмущениях в логистическом уравнении с запаздыванием / С. А Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем. – 2017. – Т. 24, № 2. – С. 168–185.
12. Анищенко, В. С. Лекции по нелинейной динамике : учеб. пособие для вузов / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова. – Москва ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2011. – 516 с.
13. Митропольский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной динамике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. – Москва : Наука, 1973. – 512 с.
14. Гу рли, С. А. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика / С. А. Гурли, Дж. В.-Х. Соу, Дж. Х. Ву // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2003. – Т. 1. – С. 84–120.
15. Britton, N. F. Reaction-diffusion equations and their applications to biology / N. F. Britton. – New York : Academic Press, 1986. – 277 p.